Основы мат. анализа Примеры

$y = 2^{x} - 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2^{y} - 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2^{y} - 3 = x$ .

$2^{y} - 3 = x$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2^{y} = x + 3$

Этап 2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{y}) = \ln (x + 3)$

Этап 2.4

Развернем $\ln (2^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (2) = \ln (x + 3)$

Этап 2.5

Разделим каждый член $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $y \ln (2) = \ln (x + 3)$ на $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Этап 2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Этап 2.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ обратной к $f (x) = 2^{x} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (2^{x} - 3)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln ((2^{x} - 3) + 3)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $2^{x} - 3 + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x} + 0)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.3.2

Добавим $2^{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Этап 4.2.4

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (2^{x} - 3) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}} - 3$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x + 3)} - 3$

Этап 4.3.3.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 3 - 3$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$ — обратная к $f (x) = 2^{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (2)}$