Основы мат. анализа Примеры

\cos (4 a)

$\cos (4 a)$

Этап 1

Вынесем множитель

2

$2$ из

4 a

$4 a$ .

\cos (2 (2 a))

$\cos (2 (2 a))$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ в

2 \cos^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

2 {(2 \cos^{2} (a) - 1)}^{2} - 1

$2 {(2 \cos^{2} (a) - 1)}^{2} - 1$

Этап 2.2

Перепишем

{(2 \cos^{2} (a) - 1)}^{2}

${(2 \cos^{2} (a) - 1)}^{2}$ в виде

(2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)

$(2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)$ .

2 ((2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1

$2 ((2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1$

Этап 2.3

Развернем

(2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)

$(2 \cos^{2} (a) - 1) (2 \cos^{2} (a) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1

$2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1

$2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a) - 1)) - 1$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cos^{2} (a) (2 \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (a) \cos^{2} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cdot 2 \cos^{2} (a) \cos^{2} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.2

Умножим

\cos^{2} (a)

$\cos^{2} (a)$ на

\cos^{2} (a)

$\cos^{2} (a)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Перенесем

\cos^{2} (a)

$\cos^{2} (a)$ .

2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (a) \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cdot 2 (\cos^{2} (a) \cos^{2} (a)) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.2.2

Применим правило степени

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

2 (2 \cdot 2 {\cos (a)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cdot 2 {\cos (a)}^{2 + 2} + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.2.3

Добавим

2

$2$ и

2

$2$ .

2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (2 \cdot 2 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.3

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

2 (4 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) + 2 \cos^{2} (a) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

2

$2$ .

2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 1 (2 \cos^{2} (a)) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.5

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 1 \cdot - 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 1 \cdot - 1) - 1$

Этап 2.4.1.6

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 1

$- 1$ .

2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) + 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) + 1) - 1$

2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) + 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 2 \cos^{2} (a) - 2 \cos^{2} (a) + 1) - 1$

Этап 2.4.2

Вычтем

2 \cos^{2} (a)

$2 \cos^{2} (a)$ из

- 2 \cos^{2} (a)

$- 2 \cos^{2} (a)$ .

2 (4 \cos^{4} (a) - 4 \cos^{2} (a) + 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 4 \cos^{2} (a) + 1) - 1$

2 (4 \cos^{4} (a) - 4 \cos^{2} (a) + 1) - 1

$2 (4 \cos^{4} (a) - 4 \cos^{2} (a) + 1) - 1$

Этап 2.5

Применим свойство дистрибутивности.

2 (4 \cos^{4} (a)) + 2 (- 4 \cos^{2} (a)) + 2 \cdot 1 - 1

$2 (4 \cos^{4} (a)) + 2 (- 4 \cos^{2} (a)) + 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим

4

$4$ на

2

$2$ .

8 \cos^{4} (a) + 2 (- 4 \cos^{2} (a)) + 2 \cdot 1 - 1

$8 \cos^{4} (a) + 2 (- 4 \cos^{2} (a)) + 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.6.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 \cdot 1 - 1

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 \cdot 1 - 1$

Этап 2.6.3

Умножим

2

$2$ на

1

$1$ .

8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1$

8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1$

8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 2 - 1$

Этап 3

Вычтем

1

$1$ из

2

$2$ .

8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 1

$8 \cos^{4} (a) - 8 \cos^{2} (a) + 1$