Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 11 = 0$

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$x = - 11$

Этап 3

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 11$

$x = 9$

$x = 1$

Этап 6

Объединим решения.

$x = - 11, 9, 1$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 11) (x - 9)}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 11$

$- 11 < x < 1$

$1 < x < 9$

$x > 9$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 11$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 14$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 14$ в исходном неравенстве.

$\frac{((- 14) + 11) ((- 14) - 9)}{(- 14) - 1} \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 4.6$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 11 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 11 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{((0) + 11) ((0) - 9)}{(0) - 1} \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $99$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{((5) + 11) ((5) - 9)}{(5) - 1} \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{((12) + 11) ((12) - 9)}{(12) - 1} \geq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $6.\overline{27}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 11$ Ложь

$- 11 < x < 1$ Истина

$1 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

$x < - 11$ Ложь

$- 11 < x < 1$ Истина

$1 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 11 \leq x < 1$ или $x \geq 9$

Этап 11

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$[- 11, 1) \cup [9, \infty)$

Этап 12