Основы мат. анализа Примеры

$x = \frac{1}{4} (y^{2} + 2 y + 33)$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (y^{2} + 2 y + 33)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{1}{4} y^{2} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{2}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{4} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (y)) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 y) + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{1}{4} \cdot 33$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $33$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{2} + \frac{33}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{33}{4}$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Этап 1.2.3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2} (2 \cdot 1)$

Этап 1.2.3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$e = \frac{33}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 1.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{33 - 1}{4}$

Этап 1.2.4.2.3

Вычтем $1$ из $33$ .

$e = \frac{32}{4}$

Этап 1.2.4.2.4

Разделим $32$ на $4$ .

$e = 8$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$ .

$\frac{1}{4} {(y + 1)}^{2} + 8$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 1)}^{2} + 8$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = 8$

$k = - 1$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(8, - 1)$

Этап 4