Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2 a} + \frac{a - 1}{a^{2}} = \frac{1}{a}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 a, a^{2}, a$

Этап 1.2

Так как $2 a, a^{2}, a$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $a^{1}, a^{2}, a^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.6

НОК $2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.7

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множители $a^{2}$ — $a \cdot a$ , то есть $a$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$a^{2} = a \cdot a$

$a$ встречается $2$ раз.

Этап 1.9

Множителем $a^{1}$ является само значение $a$ .

$a^{1} = a$

$a$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

НОК $a^{1}, a^{2}, a^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$a \cdot a$

Этап 1.11

Умножим $a$ на $a$ .

$a^{2}$

Этап 1.12

НОК $2 a, a^{2}, a$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 a^{2}$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{2 a} + \frac{a - 1}{a^{2}} = \frac{1}{a}$ умножим на $2 a^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 a} + \frac{a - 1}{a^{2}} = \frac{1}{a}$ на $2 a^{2}$ .

$\frac{1}{2 a} (2 a^{2}) + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{2 a} a^{2} + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$2 \frac{1}{2 (a)} a^{2} + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 a} a^{2} + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{a} a^{2} + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$\frac{1}{a} (a \cdot a) + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a} (a \cdot a) + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$a + \frac{a - 1}{a^{2}} (2 a^{2}) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a + 2 \frac{a - 1}{a^{2}} a^{2} = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.5

Объединим $2$ и $\frac{a - 1}{a^{2}}$ .

$a + \frac{2 (a - 1)}{a^{2}} a^{2} = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.6

Сократим общий множитель $a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$a + \frac{2 (a - 1)}{a^{2}} a^{2} = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$a + 2 (a - 1) = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$a + 2 a + 2 \cdot - 1 = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$a + 2 a - 2 = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.2.2

Добавим $a$ и $2 a$ .

$3 a - 2 = \frac{1}{a} (2 a^{2})$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 a - 2 = 2 \frac{1}{a} a^{2}$

Этап 2.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{a}$ .

$3 a - 2 = \frac{2}{a} a^{2}$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем множитель $a$ из $a^{2}$ .

$3 a - 2 = \frac{2}{a} (a \cdot a)$

Этап 2.3.3.2

Сократим общий множитель.

$3 a - 2 = \frac{2}{a} (a \cdot a)$

Этап 2.3.3.3

Перепишем это выражение.

$3 a - 2 = 2 a$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $a$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $2 a$ из обеих частей уравнения.

$3 a - 2 - 2 a = 0$

Этап 3.1.2

Вычтем $2 a$ из $3 a$ .

$a - 2 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$a = 2$