Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 - 6 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 6 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$1 + 6 + 10 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.5

Добавим $1$ и $6$ .

$7 + 10 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$7 + 10 \cdot 1 + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.7

Умножим $10$ на $1$ .

$7 + 10 + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.8

Добавим $7$ и $10$ .

$17 + 2 \cdot - 1 - 15$

Этап 1.1.3.9

Умножим $2$ на $- 1$ .

$17 - 2 - 15$

Этап 1.1.3.10

Вычтем $2$ из $17$ .

$15 - 15$

Этап 1.1.3.11

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 15}{x + 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 15$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 7 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 7 x^{3} - 7 x^{2}$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $17 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $17 x^{2} + 17 x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

$15$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

$15$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x - 15$ .

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

$x$

$1$

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x^{4}$

$x^{3}$

$7 x^{3}$

$10 x^{2}$

$7 x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x^{2}$

$2 x$

$17 x^{2}$

$17 x$

$15 x$

$15$

$15 x$

$15$

$0$

Этап 1.1.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$

Этап 1.1.6

Запишем $x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} + 2 x - 15$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15) = 0$

Этап 1.2

Разложим $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 1.2.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 7 \cdot 3^{2} + 17 \cdot 3 - 15$

Этап 1.2.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 7 \cdot 3^{2} + 17 \cdot 3 - 15$

Этап 1.2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 7 \cdot 9 + 17 \cdot 3 - 15$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим $- 7$ на $9$ .

$27 - 63 + 17 \cdot 3 - 15$

Этап 1.2.1.3.5

Вычтем $63$ из $27$ .

$- 36 + 17 \cdot 3 - 15$

Этап 1.2.1.3.6

Умножим $17$ на $3$ .

$- 36 + 51 - 15$

Этап 1.2.1.3.7

Добавим $- 36$ и $51$ .

$15 - 15$

Этап 1.2.1.3.8

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 1.2.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15}{x - 3}$

Этап 1.2.1.5

Разделим $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

$x$

$3$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$17 x$

$15$

Этап 1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$

Этап 1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Этап 1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$

Этап 1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{2} + 12 x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$

Этап 1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Этап 1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$

Этап 1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

Этап 1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x - 15$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

Этап 1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$17 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$17 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

Этап 1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 4 x + 5$

Этап 1.2.1.6

Запишем $x^{3} - 7 x^{2} + 17 x - 15$ в виде набора множителей.

$(x + 1) ((x - 3) (x^{2} - 4 x + 5)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 3) (x^{2} - 4 x + 5) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x^{2} - 4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} - 4 x + 5$ к $0$ .

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 5.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 2 + i$

Этап 5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.3

Вычтем $20$ из $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{4 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 i}{2}$

Этап 5.2.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 2 \pm i$

Этап 5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 2 - i$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 2 + i, 2 - i$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 3) (x^{2} - 4 x + 5) = 0$ верно.

$x = - 1, 3, 2 + i, 2 - i$