Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} - 512 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $512$ в виде $8^{3}$ .

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 8$ .

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Этап 1.3.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 8 = 0$

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 8$ к $0$ .

$x - 8 = 0$

Этап 3.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$x = 8$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 8 x + 64$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 8 x + 64$ к $0$ .

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 8 x + 64 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 8$ и $c = 64$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.3

Вычтем $256$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.3

Вычтем $256$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 4.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}$

Этап 4.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.3

Вычтем $256$ из $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.4

Перепишем $- 192$ в виде $- 1 (192)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (192)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.7

Перепишем $192$ в виде $8^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.7.2

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.1.9

Перенесем $8$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 4.2.5.3

Упростим $\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Этап 4.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ верно.

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$