Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$

Этап 1

Приравняем $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ к $0$ .

$- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5$

Этап 2.1.1.3

Подставим $- 0.25$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.25$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $- 0.25$ в многочлен.

$- 4 {(- 0.25)}^{3} + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $- 0.25$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot - 0.015625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $- 4$ на $- 0.015625$ .

$0.0625 + 31 {(- 0.25)}^{2} - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.4

Возведем $- 0.25$ в степень $2$ .

$0.0625 + 31 \cdot 0.0625 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.5

Умножим $31$ на $0.0625$ .

$0.0625 + 1.9375 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.6

Добавим $0.0625$ и $1.9375$ .

$2 - 20 \cdot - 0.25 - 7$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $- 20$ на $- 0.25$ .

$2 + 5 - 7$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $2$ и $5$ .

$7 - 7$

Этап 2.1.1.3.9

Вычтем $7$ из $7$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $- 0.25$ — известный корень, разделим многочлен на $4 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7}{4 x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ на $4 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 x$

$1$

$4 x^{3}$

$31 x^{2}$

$20 x$

$7$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

				-	$x^{2}$
	$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			-	$4 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $32 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $32 x^{2} + 8 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 28 x$ на член с максимальной степенью в делителе $4 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							-	$28 x$	-	$7$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 28 x - 7$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$7$
$4 x$	+	$1$	-	$4 x^{3}$	+	$31 x^{2}$	-	$20 x$	-	$7$
			+	$4 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	-	$20 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$28 x$	-	$7$
							+	$28 x$	+	$7$
										$0$

Этап 2.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 8 x - 7$

Этап 2.1.1.6

Запишем $- 4 x^{3} + 31 x^{2} - 20 x - 7$ в виде набора множителей.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 x - 7) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 7 = 7$ , а сумма — $b = 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$(4 x + 1) (- x^{2} + 8 (x) - 7) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.2

Запишем $8$ как $1$ плюс $7$

$(4 x + 1) (- x^{2} + (1 + 7) x - 7) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x + 1) (- x^{2} + 1 x + 7 x - 7) = 0$

Этап 2.1.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(4 x + 1) (- x^{2} + x + 7 x - 7) = 0$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x + 1) ((- x^{2} + x) + 7 x - 7) = 0$

Этап 2.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(4 x + 1) (x (- x + 1) - 7 (- x + 1)) = 0$

Этап 2.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 1$ .

$(4 x + 1) ((- x + 1) (x - 7)) = 0$

Этап 2.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$- x + 1 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Приравняем $- x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- x + 1$ к $0$ .

$- x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 1) (- x + 1) (x - 7) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, 1, 7$

Этап 3