Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\sqrt{x + 10}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 10}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 10 \geq 0$

Этап 2

Вычтем $10$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 10$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\sqrt{x + 10}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x + 10} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{x + 10}}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 10}$ в виде ${(x + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 10)}^{1} = 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x + 10 = 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- 10, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > - 10}$

Этап 6

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0)$

Обозначение построения множества:

${y | y < 0}$

Этап 7

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- 10, \infty), {x | x > - 10}$

Диапазон: $(- \infty, 0), {y | y < 0}$

Этап 8