Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$

Этап 1

Составим полный квадрат для $x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Этап 1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{3}{2}$

Этап 1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $\frac{9}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Этап 1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Этап 2

Подставим ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ вместо $x^{2} - 3 x$ в уравнение $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y + y^{2} = 81$

Этап 3

Перенесем $- \frac{9}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{9}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y + y^{2} = 81 + \frac{9}{4}$

Этап 4

Составим полный квадрат для $y + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $y$ и $y^{2}$ .

$y^{2} + y$

Этап 4.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Этап 4.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 4.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{2}$

Этап 4.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 4.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Этап 4.5.2.2

Вычтем $\frac{1}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Этап 4.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Этап 5

Подставим ${(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ вместо $y + y^{2}$ в уравнение $x^{2} - 3 x + y + y^{2} = 81$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} = 81 + \frac{9}{4}$

Этап 6

Перенесем $- \frac{1}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{1}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 7

Упростим $81 + \frac{9}{4} + \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{9 + 1}{4}$

Этап 7.2

Добавим $9$ и $1$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{10}{4}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 (5)}{4}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 + \frac{5}{2}$

Этап 7.4

Чтобы записать $81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = 81 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 7.5

Объединим $81$ и $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Этап 7.6

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{81 \cdot 2 + 5}{2}$

Этап 7.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Умножим $81$ на $2$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{162 + 5}{2}$

Этап 7.7.2

Добавим $162$ и $5$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{1}{2})}^{2} = \frac{167}{2}$