Основы мат. анализа Примеры

$y = \frac{π}{2} + \sin (x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{π}{2} + \sin (y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{π}{2} + \sin (y) = x$ .

$\frac{π}{2} + \sin (y) = x$

Этап 2.2

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\sin (y) = x - \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ обратной к $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2})$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $(\frac{π}{2} + \sin (x)) - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{2} + \sin (x))$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{2} + \sin (x))$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Этап 4.2.4.2

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{2} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{2}))$

Этап 4.3.3

Синус и арксинус — обратные функции.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = \frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $\frac{π}{2} + x - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Этап 4.3.4.2

Вычтем $π$ из $π$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Разделим $0$ на $2$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{2})) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$ — обратная к $f (x) = \frac{π}{2} + \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{2})$