Основы мат. анализа Примеры

$y = 5^{x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 5^{y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $5^{y} = x$ .

$5^{y} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (5^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Этап 2.4

Разделим каждый член $y \ln (5) = \ln (x)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $y \ln (5) = \ln (x)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Этап 2.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ обратной к $f (x) = 5^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Этап 4.3.3

Используем изменение основного правила $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Этап 4.3.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ — обратная к $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$