Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 45, \pm 11.25, \pm 22.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 15, \pm 3.75, \pm 7.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

Этап 1.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$4 {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 27$ .

$- 108 - 11 {(- 3)}^{2} - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 108 - 11 \cdot 9 - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 11$ на $9$ .

$- 108 - 99 - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.6

Вычтем $99$ из $- 108$ .

$- 207 - 54 \cdot - 3 + 45$

Этап 1.1.3.7

Умножим $- 54$ на $- 3$ .

$- 207 + 162 + 45$

Этап 1.1.3.8

Добавим $- 207$ и $162$ .

$- 45 + 45$

Этап 1.1.3.9

Добавим $- 45$ и $45$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45}{x + 3}$

Этап 1.1.5

Разделим $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$4 x^{3}$

$11 x^{2}$

$54 x$

$45$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			+	$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 12 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 23 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					-	$23 x^{2}$	-	$69 x$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 23 x^{2} - 69 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							+	$15 x$	+	$45$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x + 45$ .

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$23 x$	+	$15$
$x$	+	$3$		$4 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$54 x$	+	$45$
			-	$4 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					-	$23 x^{2}$	-	$54 x$
					+	$23 x^{2}$	+	$69 x$
							+	$15 x$	+	$45$
							-	$15 x$	-	$45$
										$0$

Этап 1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 23 x + 15$

Этап 1.1.6

Запишем $4 x^{3} - 11 x^{2} - 54 x + 45$ в виде набора множителей.

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ , а сумма — $b = - 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 23$ из $- 23 x$ .

$(x + 3) (4 x^{2} - 23 x + 15) = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Запишем $- 23$ как $- 3$ плюс $- 20$

$(x + 3) (4 x^{2} + (- 3 - 20) x + 15) = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (4 x^{2} - 3 x - 20 x + 15) = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) ((4 x^{2} - 3 x) - 20 x + 15) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) (x (4 x - 3) - 5 (4 x - 3)) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(x + 3) ((4 x - 3) (x - 5)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (4 x - 3) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - 3, \frac{3}{4}, 5$

Этап 7