Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 8 x = - 4 y - 8$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем уравнение в виде $- 4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$- 4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Этап 1.1.2

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $- 4 y = x^{2} + 8 x + 8$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $- 4 y = x^{2} + 8 x + 8$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{8 x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{8 x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{8 x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{- 4} + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x}{- 1}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot (2 x) + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot (2 x)$ в виде $- (2 x)$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - (2 x) + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x + \frac{8}{- 4}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Разделим $8$ на $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$d = 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $- 1$ .

$e = - 2 - - 4$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$e = - 2 + 4$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 2$ и $4$ .

$e = 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 2$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Этап 4