Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ не определено.

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.1.1.2

Запишем $- 2$ как $3$ плюс $- 5$

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

Этап 5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Этап 5.2

Развернем $(x + 1) (3 x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.4

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.5

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.6

Изменим порядок $x$ и $- 5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.7

Избавимся от скобок.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.8

Умножим $3$ на $x$ .

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.13

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.14

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.2.15

Добавим $- 5 x$ и $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$ .

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{25 x}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{7}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Этап 7