Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x^{3} - 4 x^{2} + 4 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} - 4 x^{2} + 4 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + 4 x}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 4 x)$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 4 x) + x \cdot 4$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 4)}$

Этап 1.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 4 x + 2^{2})}$

Этап 1.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 1.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 1.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 18 x + 24}{x {(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) (x {(x - 2)}^{2})}{x {(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) ({(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} - 18 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.6.2

Разделим $5 x^{2} - 18 x + 24$ на $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = \frac{A (x {(x - 2)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $A ({(x - 2)}^{2})$ на $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ({(x - 2)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.2

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A ((x - 2) (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.3

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.4.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.4.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A (x^{2} - 4 x + 4) + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + A (- 4 x) + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + A \cdot 4 + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.6.2

Перенесем $4$ влево от $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.7

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + \frac{B (x {(x - 2)}^{2})}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.7.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Этап 1.7.8

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(C) (x {(x - 2)}^{2})$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{x - 2}$

Этап 1.7.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.2.1

Умножим на $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.7.8.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{(x - 2) (C (x (x - 2)))}{(x - 2) \cdot 1}$

Этап 1.7.8.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + \frac{C (x (x - 2))}{1}$

Этап 1.7.8.2.4

Разделим $C (x (x - 2))$ на $1$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x (x - 2))$

Этап 1.7.9

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 2)$

Этап 1.7.10

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 2)$

Этап 1.7.11

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C (x^{2} - 2 \cdot x)$

Этап 1.7.12

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} + C (- 2 x)$

Этап 1.7.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 A x + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Этап 1.8.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + 4 A + B x + C x^{2} - 2 C x$

Этап 1.8.3

Перенесем $4 A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + B x + C x^{2} - 2 C x + 4 A$

Этап 1.8.4

Перенесем $B x$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} - 4 x A + C x^{2} + B x - 2 C x + 4 A$

Этап 1.8.5

Перенесем $- 4 x A$ .

$5 x^{2} - 18 x + 24 = A x^{2} + C x^{2} - 4 x A + B x - 2 C x + 4 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$24 = 4 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$24 = 4 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $24 = 4 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $4 A = 24$ .

$4 A = 24$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $4 A = 24$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $4 A = 24$ на $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 A}{4} = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = \frac{24}{4}$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $24$ на $4$ .

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$A = 6$

$5 = A + C$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $6$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $5 = A + C$ на $6$ .

$5 = (6) + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 4 A + B - 2 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 18 = - 4 A + B - 2 C$ на $6$ .

$- 18 = - 4 \cdot 6 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$5 = 6 + C$

$A = 6$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $5 = 6 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $6 + C = 5$ .

$6 + C = 5$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$C = 5 - 6$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $6$ из $5$ .

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

$C = - 1$

$- 18 = - 24 + B - 2 C$

$A = 6$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 18 = - 24 + B - 2 C$ на $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B - 2 \cdot - 1$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 24 + B - 2 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 18 = - 24 + B + 2$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 24$ и $2$ .

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

$- 18 = B - 22$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $- 18 = B - 22$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B - 22 = - 18$ .

$B - 22 = - 18$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $22$ к обеим частям уравнения.

$B = - 18 + 22$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 18$ и $22$ .

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

$B = 4$

$C = - 1$

$A = 6$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$B = 4 C = - 1 A = 6$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = 4, C = - 1, A = 6$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{C}{x - 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{6}{x} + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 1}{x - 2}$