Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ не определено.

$x = - 3, x = 0, x = 3$

Этап 2

Поскольку $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ слева, а $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- 3$ справа, то $x = - 3$ — вертикальная асимптота.

$x = - 3$

Этап 3

Поскольку $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $0$ слева, а $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $0$ справа, то $x = 0$ — вертикальная асимптота.

$x = 0$

Этап 4

Поскольку $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $3$ слева, а $\frac{x^{2} - 81}{x^{3} - 9 x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $3$ справа, то $x = 3$ — вертикальная асимптота.

$x = 3$

Этап 5

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - 3, 0, 3$

Этап 6

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 7

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 3$

Этап 8

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 9

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 10

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 3, 0, 3$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Нет наклонных асимптот

Этап 11