Основы мат. анализа Примеры

${(3 x - 2 y)}^{3}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(3 x - 2 y)}^{3}$ $n = 3$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $4$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 3 - 3 - 1$ .

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $3 x$ и $b$ $- 2 y$ в выражение.

$1 {(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 x)}^{3}$ на $1$ .

${(3 x)}^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{3} x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} {(- 2 y)}^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$27 x^{3} ({(- 2)}^{0} y^{0}) + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 \cdot {(- 2)}^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $27$ на $1$ .

$27 x^{3} y^{0} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.9

Умножим $27$ на $1$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.11

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перенесем $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.11.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1} + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.12

Упростим $3^{3} x^{2} {(- 2 y)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} (- 2 y) + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot - 2 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $27$ на $- 2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 {(3 x)}^{1} {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.16

Упростим.

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 3 (3 x) {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.17

Умножим $3$ на $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x {(- 2 y)}^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 x ({(- 2)}^{2} y^{2}) + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot {(- 2)}^{2} x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.20

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 9 \cdot 4 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.21

Умножим $9$ на $4$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.22

Умножим ${(3 x)}^{0}$ на $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(3 x)}^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $3 x$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 3^{0} x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.25

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + x^{0} {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.26

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.27

Умножим ${(- 2 y)}^{3}$ на $1$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2 y)}^{3}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $- 2 y$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(- 2)}^{3} y^{3}$

Этап 4.29

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$27 x^{3} - 54 x^{2} y + 36 x y^{2} - 8 y^{3}$