Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y - 19 = 0$

Этап 1

Найдем точки пересечения с осью x.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы найти точки пересечения с осью x, подставим $0$ вместо $y$ и найдем решение для $x$ .

$x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x - 2 \cdot 0 - 19 = 0$

Этап 1.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим $x^{2} + {(0)}^{2} - 8 x - 2 \cdot 0 - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{2} + 0 - 8 x - 2 \cdot 0 - 19 = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 19 = 0$

Этап 1.2.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 0 - 8 x + 0 - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} - 8 x + 0 - 19 = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Добавим $x^{2} - 8 x$ и $0$ .

$x^{2} - 8 x - 19 = 0$

Этап 1.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = - 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.3

Добавим $64$ и $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 1.2.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Этап 1.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.3

Добавим $64$ и $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 1.2.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Этап 1.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 4 + \sqrt{35}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Добавим $64$ и $76$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{140}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4

Перепишем $140$ в виде $2^{2} \cdot 35$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $140$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (35)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$

Этап 1.2.6.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{35}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{35}$

Этап 1.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 4 - \sqrt{35}$

Этап 1.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 4 + \sqrt{35}, 4 - \sqrt{35}$

Этап 1.3

Точки пересечения с осью x в форме точки.

точки пересечения с осью x: $(4 + \sqrt{35}, 0), (4 - \sqrt{35}, 0)$

Этап 2

Найдем точку пересечения с осью Y.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы найти точки пересечения с осью y, подставим $0$ вместо $x$ и найдем решение для $y$ .

${(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19 = 0$

Этап 2.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(0)}^{2} + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + y^{2} - 8 \cdot 0 - 2 y - 19 = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $- 8$ на $0$ .

$0 + y^{2} + 0 - 2 y - 19 = 0$

Этап 2.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + y^{2} + 0 - 2 y - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Добавим $0$ и $y^{2}$ .

$y^{2} + 0 - 2 y - 19 = 0$

Этап 2.2.1.2.2

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$y^{2} - 2 y - 19 = 0$

Этап 2.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 1 + 2 \sqrt{5}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 2.2.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 1 - 2 \sqrt{5}$

Этап 2.2.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 1 + 2 \sqrt{5}, 1 - 2 \sqrt{5}$

Этап 2.3

Точки пересечения с осью y в форме точки.

Точки пересечения с осью y: $(0, 1 + 2 \sqrt{5}), (0, 1 - 2 \sqrt{5})$

Этап 3

Перечислим пересечения.

точки пересечения с осью x: $(4 + \sqrt{35}, 0), (4 - \sqrt{35}, 0)$

Точки пересечения с осью y: $(0, 1 + 2 \sqrt{5}), (0, 1 - 2 \sqrt{5})$

Этап 4