Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} - 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = 8$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = 8 + 4$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Этап 1.5.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Этап 1.6

Подставим ${(y + 2)}^{2} - 4$ вместо $y^{2} + 4 y$ в уравнение $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 8 + 4$

Этап 1.7

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8 + 4 + 4$

Этап 1.8

Упростим $8 + 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $8$ и $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 12 + 4$

Этап 1.8.2

Добавим $12$ и $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $16$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 4$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(1, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Этап 5.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Этап 5.3.4

Вычтем $4$ из $16$ .

$\sqrt{12}$

Этап 5.3.5

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Этап 5.3.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Этап 5.3.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, - 2 + 4)$

Этап 6.3

Упростим.

$(1, 2)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(1, - 2 - (4))$

Этап 6.6

Упростим.

$(1, - 6)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(1, - 2 - (2 \sqrt{3}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Этап 8.3.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Этап 8.3.1.4

Вычтем $4$ из $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Этап 8.3.1.5.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Этап 8.3.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Этап 8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10