Основы мат. анализа Примеры

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{5 n^{2} + 6 n + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ , а сумма — $b = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 n$ .

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{5 n^{2} + 6 (n) + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.1.2

Запишем $6$ как $1$ плюс $5$

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{5 n^{2} + (1 + 5) n + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{5 n^{2} + 1 n + 5 n + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.1.4

Умножим $n$ на $1$ .

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{5 n^{2} + n + 5 n + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{(5 n^{2} + n) + 5 n + 1} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{n (5 n + 1) + 1 (5 n + 1)} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 n + 1$ .

$\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} + \frac{3}{5 n + 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$5 n + 1, (5 n + 1) (n + 1), 5 n + 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $5 n + 1$ является само значение $5 n + 1$ .

$(5 n + 1) = 5 n + 1$

$(5 n + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $n + 1$ является само значение $n + 1$ .

$(n + 1) = n + 1$

$(n + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $5 n + 1$ является само значение $5 n + 1$ .

$(5 n + 1) = 5 n + 1$

$(5 n + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $5 n + 1, 5 n + 1, n + 1, 5 n + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(5 n + 1) (n + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} + \frac{3}{5 n + 1}$ умножим на $(5 n + 1) (n + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{6}{5 n + 1} = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} + \frac{3}{5 n + 1}$ на $(5 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{6}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1)) = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $5 n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1)) = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$6 (n + 1) = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 n + 6 \cdot 1 = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 n + 6 = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $(5 n + 1) (n + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$6 n + 6 = \frac{6}{(5 n + 1) (n + 1)} ((5 n + 1) (n + 1)) + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$6 n + 6 = 6 + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $5 n + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 n + 6 = 6 + \frac{3}{5 n + 1} ((5 n + 1) (n + 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$6 n + 6 = 6 + 3 (n + 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 n + 6 = 6 + 3 n + 3 \cdot 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$6 n + 6 = 6 + 3 n + 3$

Этап 3.3.2

Добавим $6$ и $3$ .

$6 n + 6 = 3 n + 9$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $3 n$ из обеих частей уравнения.

$6 n + 6 - 3 n = 9$

Этап 4.1.2

Вычтем $3 n$ из $6 n$ .

$3 n + 6 = 9$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $n$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$3 n = 9 - 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $6$ из $9$ .

$3 n = 3$

Этап 4.3

Разделим каждый член $3 n = 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $3 n = 3$ на $3$ .

$\frac{3 n}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 n}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{3}{3}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $3$ на $3$ .

$n = 1$