Основы мат. анализа Примеры

Это геометрическая прогрессия, так как между соседними членами существует общий знаменатель. В данном случае умножение предыдущего члена прогрессии на ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ дает следующий член. Другими словами, ${\displaystyle a_n=a_1{r}^{n-1}}$.

Сумма ряда ${\displaystyle S_n}$ вычисляется по формуле ${\displaystyle S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}}$. Для суммы бесконечного геометрического ряда ${\displaystyle S_{\infty }}$ при ${\displaystyle n}$, стремящемся к ${\displaystyle \infty }$, ${\displaystyle 1-r^n}$ стремится к ${\displaystyle 1}$. Следовательно, ${\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$ стремится к ${\displaystyle \frac{a}{1-r}}$.

Значения ${\displaystyle a=1}$ и ${\displaystyle r=\frac{1}{3}}$ можно подставить в уравнение ${\displaystyle S_{\infty }}$.