Основы мат. анализа Примеры

$\frac{50 - 7 x}{x^{3} - 10 x^{2} + 25 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - 10 x^{2} + 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} - 10 x^{2} + 25 x}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 25 x}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $25 x$ .

$\frac{50 - 7 x}{x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + x \cdot 25}$

Этап 1.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (- 10 x)$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25}$

Этап 1.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} - 10 x) + x \cdot 25$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 25)}$

Этап 1.1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 10 x + 5^{2})}$

Этап 1.1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 1.1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{50 - 7 x}{x (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2})}$

Этап 1.1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{50 - 7 x}{x {(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(50 - 7 x) (x {(x - 5)}^{2})}{x {(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(50 - 7 x) ({(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(50 - 7 x) {(x - 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}} = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.6.2

Разделим $50 - 7 x$ на $1$ .

$50 - 7 x = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.7

Изменим порядок $50$ и $- 7 x$ .

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$- 7 x + 50 = \frac{A (x {(x - 5)}^{2})}{x} + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.1.2

Разделим $A ({(x - 5)}^{2})$ на $1$ .

$- 7 x + 50 = A ({(x - 5)}^{2}) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.2

Перепишем ${(x - 5)}^{2}$ в виде $(x - 5) (x - 5)$ .

$- 7 x + 50 = A ((x - 5) (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.3

Развернем $(x - 5) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.4.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.4.1.3

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.4.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$- 7 x + 50 = A (x^{2} - 10 x + 25) + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A x^{2} + A (- 10 x) + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.6.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + A \cdot 25 + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.6.2

Перенесем $25$ влево от $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 \cdot A + \frac{(B) (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.7

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.7.1

Сократим общий множитель.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + \frac{B (x {(x - 5)}^{2})}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.7.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + (B) (x) + \frac{(C) (x {(x - 5)}^{2})}{x - 5}$

Этап 1.8.8

Сократим общий множитель ${(x - 5)}^{2}$ и $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(C) (x {(x - 5)}^{2})$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{x - 5}$

Этап 1.8.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.8.2.1

Умножим на $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Этап 1.8.8.2.2

Сократим общий множитель.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{(x - 5) (C (x (x - 5)))}{(x - 5) \cdot 1}$

Этап 1.8.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + \frac{C (x (x - 5))}{1}$

Этап 1.8.8.2.4

Разделим $C (x (x - 5))$ на $1$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x (x - 5))$

Этап 1.8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 5)$

Этап 1.8.10

Умножим $x$ на $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} + x \cdot - 5)$

Этап 1.8.11

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C (x^{2} - 5 \cdot x)$

Этап 1.8.12

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} + C (- 5 x)$

Этап 1.8.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 A x + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Этап 1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Перенесем $A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Этап 1.9.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + 25 A + B x + C x^{2} - 5 C x$

Этап 1.9.3

Перенесем $25 A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + B x + C x^{2} - 5 C x + 25 A$

Этап 1.9.4

Перенесем $B x$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} - 10 x A + C x^{2} + B x - 5 C x + 25 A$

Этап 1.9.5

Перенесем $- 10 x A$ .

$- 7 x + 50 = A x^{2} + C x^{2} - 10 x A + B x - 5 C x + 25 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$50 = 25 A$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$50 = 25 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $50 = 25 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $25 A = 50$ .

$25 A = 50$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $25 A = 50$ на $25$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $25 A = 50$ на $25$ .

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{25 A}{25} = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = \frac{50}{25}$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $50$ на $25$ .

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$A = 2$

$0 = A + C$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + C$ на $2$ .

$0 = (2) + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 10 A + B - 5 C$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $A$ в $- 7 = - 10 A + B - 5 C$ на $2$ .

$- 7 = - 10 \cdot 2 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Умножим $- 10$ на $2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$0 = 2 + C$

$A = 2$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $0 = 2 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 + C = 0$ .

$2 + C = 0$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Этап 3.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

$C = - 2$

$- 7 = - 20 + B - 5 C$

$A = 2$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- 2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 7 = - 20 + B - 5 C$ на $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B - 5 \cdot - 2$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $- 20 + B - 5 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$- 7 = - 20 + B + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $- 20$ и $10$ .

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

$- 7 = B - 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.5

Решим относительно $B$ в $- 7 = B - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $B - 10 = - 7$ .

$B - 10 = - 7$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.5.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$B = - 7 + 10$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.5.2.2

Добавим $- 7$ и $10$ .

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

$B = 3$

$C = - 2$

$A = 2$

Этап 3.6

Решим систему уравнений.

$B = 3 C = - 2 A = 2$

Этап 3.7

Перечислим все решения.

$B = 3, C = - 2, A = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{C}{x - 5}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{x} + \frac{3}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{- 2}{x - 5}$