Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5 x^{2} + 14 x + 18}{(x + 6) (x^{2} + 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 6}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x + 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 6) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x + 6) (x^{2} + 2)}{(x + 6) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x + 6) (x^{2} + 2)}{(x + 6) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x^{2} + 14 x + 18) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.2

Разделим $5 x^{2} + 14 x + 18$ на $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = \frac{(A) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = \frac{A (x + 6) (x^{2} + 2)}{x + 6} + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = (A) (x^{2} + 2) + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + A \cdot 2 + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 \cdot A + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + \frac{(B x + C) (x + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B x + C) (x + 6)$ на $1$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + (B x + C) (x + 6)$

Этап 1.6.5

Развернем $(B x + C) (x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x (x + 6) + C (x + 6)$

Этап 1.6.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot 6 + C (x + 6)$

Этап 1.6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x \cdot x + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Этап 1.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.6.1.1

Перенесем $x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x) + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Этап 1.6.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + B x \cdot 6 + C x + C \cdot 6$

Этап 1.6.6.2

Перенесем $6$ влево от $B x$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 \cdot (B x) + C x + C \cdot 6$

Этап 1.6.6.3

Перенесем $6$ влево от $C$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 B x + C x + 6 C$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Перенесем $B$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + 2 A + B x^{2} + 6 x B + C x + 6 C$

Этап 1.7.2

Перенесем $2 A$ .

$5 x^{2} + 14 x + 18 = A x^{2} + B x^{2} + 6 x B + C x + 2 A + 6 C$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$14 = 6 B + C$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$18 = 2 A + 6 C$

Этап 2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

$5 = A + B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $5 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Этап 3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 2 A + 6 C$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $5 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $18 = 2 A + 6 C$ на $5 - B$ .

$18 = 2 (5 - B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 = 2 \cdot 5 + 2 (- B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$18 = 10 + 2 (- B) + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$A = 5 - B$

$14 = 6 B + C$

Этап 3.3

Изменим порядок $5$ и $- B$ .

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$14 = 6 B + C$

Этап 3.4

Решим относительно $C$ в $14 = 6 B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $6 B + C = 14$ .

$6 B + C = 14$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

Этап 3.4.2

Вычтем $6 B$ из обеих частей уравнения.

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 6 C$

Этап 3.5

Заменим все вхождения $C$ на $14 - 6 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим все вхождения $C$ в $18 = 10 - 2 B + 6 C$ на $14 - 6 B$ .

$18 = 10 - 2 B + 6 (14 - 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $10 - 2 B + 6 (14 - 6 B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 = 10 - 2 B + 6 \cdot 14 + 6 (- 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.5.2.1.1.2

Умножим $6$ на $14$ .

$18 = 10 - 2 B + 84 + 6 (- 6 B)$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.5.2.1.1.3

Умножим $- 6$ на $6$ .

$18 = 10 - 2 B + 84 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = 10 - 2 B + 84 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.2.1

Добавим $10$ и $84$ .

$18 = - 2 B + 94 - 36 B$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.5.2.1.2.2

Вычтем $36 B$ из $- 2 B$ .

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$18 = - 38 B + 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6

Решим относительно $B$ в $18 = - 38 B + 94$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $- 38 B + 94 = 18$ .

$- 38 B + 94 = 18$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $94$ из обеих частей уравнения.

$- 38 B = 18 - 94$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.2.2

Вычтем $94$ из $18$ .

$- 38 B = - 76$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$- 38 B = - 76$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.3

Разделим каждый член $- 38 B = - 76$ на $- 38$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Разделим каждый член $- 38 B = - 76$ на $- 38$ .

$\frac{- 38 B}{- 38} = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 38 B}{- 38} = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = \frac{- 76}{- 38}$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.3.1

Разделим $- 76$ на $- 38$ .

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

$B = 2$

$C = 14 - 6 B$

$A = - B + 5$

Этап 3.7

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Заменим все вхождения $B$ в $C = 14 - 6 B$ на $2$ .

$C = 14 - 6 \cdot 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Этап 3.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Упростим $14 - 6 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Умножим $- 6$ на $2$ .

$C = 14 - 12$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Этап 3.7.2.1.2

Вычтем $12$ из $14$ .

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

$C = 2$

$B = 2$

$A = - B + 5$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B + 5$ на $2$ .

$A = - (2) + 5$

$C = 2$

$B = 2$

Этап 3.7.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1

Упростим $- (2) + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.4.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$A = - 2 + 5$

$C = 2$

$B = 2$

Этап 3.7.4.1.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

$A = 3$

$C = 2$

$B = 2$

Этап 3.8

Перечислим все решения.

$A = 3, C = 2, B = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 6} + \frac{B x + C}{x^{2} + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{3}{x + 6} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2}$

Этап 5

Умножим $2$ на $x$ .

$\frac{3}{x + 6} + \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2}$