Основы мат. анализа Примеры

$3 + \sqrt{4 a - 5} \leq 10$

Этап 1

Перенесем все члены без $\sqrt{4 a - 5}$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$\sqrt{4 a - 5} \leq 10 - 3$

Этап 1.2

Вычтем $3$ из $10$ .

$\sqrt{4 a - 5} \leq 7$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{4 a - 5}}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 a - 5}$ в виде ${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 a - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 a - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 a - 5)}^{1} \leq 7^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 a - 5 \leq 7^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$4 a - 5 \leq 49$

Этап 4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $a$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 a \leq 49 + 5$

Этап 4.1.2

Добавим $49$ и $5$ .

$4 a \leq 54$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 a \leq 54$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 a \leq 54$ на $4$ .

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{4} \leq \frac{54}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a \leq \frac{54}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $54$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$a \leq \frac{2 (27)}{4}$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$a \leq \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$a \leq \frac{27}{2}$

Этап 5

Найдем область определения $- 7 + \sqrt{4 a - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{4 a - 5}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$4 a - 5 \geq 0$

Этап 5.2

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям неравенства.

$4 a \geq 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 a \geq 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 a \geq 5$ на $4$ .

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 a}{4} \geq \frac{5}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a \geq \frac{5}{4}$

Этап 5.3

Область определения ― это все значения $a$ , при которых выражение определено.

$[\frac{5}{4}, \infty)$

Этап 6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$a < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$

$a > \frac{27}{2}$

Этап 7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проверим значение на интервале $a < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Выберем значение на интервале $a < \frac{5}{4}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 0$

Этап 7.1.2

Заменим $a$ на $0$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{4 (0) - 5} \leq 10$

Этап 7.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.2

Проверим значение на интервале $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 4$

Этап 7.2.2

Заменим $a$ на $4$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{4 (4) - 5} \leq 10$

Этап 7.2.3

Левая часть $6.31662479$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 7.3

Проверим значение на интервале $a > \frac{27}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Выберем значение на интервале $a > \frac{27}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$a = 16$

Этап 7.3.2

Заменим $a$ на $16$ в исходном неравенстве.

$3 + \sqrt{4 (16) - 5} \leq 10$

Этап 7.3.3

Левая часть $10.68114574$ больше правой части $10$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 7.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$a < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Истина

$a > \frac{27}{2}$ Ложь

$a < \frac{5}{4}$ Ложь

$\frac{5}{4} < a < \frac{27}{2}$ Истина

$a > \frac{27}{2}$ Ложь

Этап 8

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{5}{4} \leq a \leq \frac{27}{2}$

Интервальное представление:

$[\frac{5}{4}, \frac{27}{2}]$

Этап 10