Основы мат. анализа Примеры

$t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $t^{\frac{1}{2}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

${(t^{\frac{1}{4}})}^{2} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = t^{\frac{1}{4}}$ . Подставим $u$ вместо $t^{\frac{1}{4}}$ для всех.

$u^{2} + 3 u + 2 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + 3 u + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 1) (u + 2) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $t^{\frac{1}{4}}$ .

$(t^{\frac{1}{4}} + 1) (t^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

$t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $t^{\frac{1}{4}} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $t^{\frac{1}{4}} + 1$ к $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $t^{\frac{1}{4}} + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t^{\frac{1}{4}} = - 1$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 1)}^{4}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 1)}^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$t^{1} = {(- 1)}^{4}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$t = {(- 1)}^{4}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$t = 1$

Этап 4

Приравняем $t^{\frac{1}{4}} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $t^{\frac{1}{4}} + 2$ к $0$ .

$t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$t^{\frac{1}{4}} = - 2$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $4$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$t^{1} = {(- 2)}^{4}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$t = {(- 2)}^{4}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$t = 16$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(t^{\frac{1}{4}} + 1) (t^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$ верно.

$t = 1, 16$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $t^{\frac{1}{2}} + 3 t^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ истинным.

$Нет решения$