Основы мат. анализа Примеры

${(\sqrt{3} + i)}^{6}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{6}$ в виде $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3^{3} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{5}$ в виде $\sqrt{3^{5}}$ .

$27 + 6 \sqrt{3^{5}} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.4

Возведем $3$ в степень $5$ .

$27 + 6 \sqrt{243} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.5

Перепишем $243$ в виде $9^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вынесем множитель $81$ из $243$ .

$27 + 6 \sqrt{81 (3)} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.5.2

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$27 + 6 \sqrt{9^{2} \cdot 3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$27 + 6 (9 \sqrt{3}) i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.7

Умножим $9$ на $6$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.4.2.2

Сократим общий множитель.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.4.2.3

Перепишем это выражение.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.8.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.10

Умножим $15$ на $9$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.11

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.12

Умножим $135$ на $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.13

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{3}} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{27} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.15

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{9 (3)} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.15.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.17

Умножим $3$ на $20$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.18

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.19

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.20

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.21

Умножим $- 1$ на $60$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.4.1

Сократим общий множитель.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22.4.2

Перепишем это выражение.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.22.5

Найдем экспоненту.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.23

Умножим $15$ на $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.24

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.24.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.24.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.25

Умножим $45$ на $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Этап 2.1.26

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

Этап 2.1.27

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.27.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Этап 2.1.27.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Этап 2.1.27.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

Этап 2.1.28

Умножим $i$ на $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

Этап 2.1.29

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

Этап 2.1.30

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.30.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.30.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Этап 2.1.30.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

Этап 2.1.31

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

Этап 2.1.32

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $135$ из $27$ .

$54 \sqrt{3} i - 108 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Этап 2.2.2

Вычтем $60 \sqrt{3} i$ из $54 \sqrt{3} i$ .

$- 6 \sqrt{3} i - 108 + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Этап 2.2.3

Добавим $- 6 \sqrt{3} i$ и $6 \sqrt{3} i$ .

$0 - 108 + 45 - 1$

Этап 2.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Вычтем $108$ из $0$ .

$- 108 + 45 - 1$

Этап 2.2.4.2

Добавим $- 108$ и $45$ .

$- 63 - 1$

Этап 2.2.4.3

Вычтем $1$ из $- 63$ .

$- 64$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 64$ и $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 64$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Этап 6.4

Перепишем $4096$ в виде $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 64$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{0}{- 64}$ дает угол во втором квадранте, значение угла равно $π$ .

$θ = π$

Этап 9

Подставим значения $θ = π$ и $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$