Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\cos^{4} (θ)$ в виде ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Этап 2.2

Перепишем $\sin^{4} (θ)$ в виде ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos^{2} (θ)$ и $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Переставляем члены.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.4.2

Применим формулу Пифагора.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.4.3

Умножим $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Этап 2.4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (θ)$ и $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.2

Умножим $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.2.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Этап 4.1.4

Умножим $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Этап 4.1.4.2

Возведем $\sin (θ)$ в степень $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Этап 4.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Этап 4.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.2

Добавим $\cos (θ) \sin (θ)$ и $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок $\cos (θ)$ и $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $\cos (θ) \sin (θ)$ из $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.3

Добавим ${\cos (θ)}^{2}$ и $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Этап 6

Вычтем ${\sin (θ)}^{2}$ из $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ — тождество