Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y + 81 = 0$

Этап 1

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 20 x - 32 y = - 81$

Этап 2

Разделим обе части уравнения на $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$

Этап 3

Составим полный квадрат для $x^{2} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Этап 3.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Этап 3.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$d = - \frac{5}{2}$

Этап 3.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $\frac{25}{4}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Этап 3.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Этап 4

Подставим ${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ вместо $x^{2} - 5 x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4}$

Этап 5

Перенесем $- \frac{25}{4}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{4}$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + y^{2} - 8 y = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 6

Составим полный квадрат для $y^{2} - 8 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Этап 6.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 6.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Этап 6.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Этап 6.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 4}{1}$

Этап 6.3.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$d = - 4$

Этап 6.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Этап 6.4.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Этап 6.4.2.1.3

Разделим $64$ на $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 6.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 6.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y - 4)}^{2} - 16$ .

${(y - 4)}^{2} - 16$

Этап 7

Подставим ${(y - 4)}^{2} - 16$ вместо $y^{2} - 8 y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} - 5 x - 8 y = - \frac{81}{4}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} - 16 = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4}$

Этап 8

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = - \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$

Этап 9

Упростим $- \frac{81}{4} + \frac{25}{4} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 81 + 25}{4}$

Этап 9.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $- 81$ и $25$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 + \frac{- 56}{4}$

Этап 9.2.2

Разделим $- 56$ на $4$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16 - 14$

Этап 9.2.3

Вычтем $14$ из $16$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$