Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.2

Подставим значения $a = - 9$ , $b = - 54$ и $c = x^{2} + 2 x - 80$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80))}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведем $- 54$ в степень $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.4.1

Умножим $2$ на $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.4.2

Умножим $36$ на $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.5

Вычтем $2880$ из $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6

Перепишем $36 x^{2} + 72 x + 36$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.1.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.1.2

Вынесем множитель $36$ из $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.1.3

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.1.4

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.1.5

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.3.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.6.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.7

Перепишем $36 {(x + 1)}^{2}$ в виде ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.1.10

Умножим $6$ на $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.3.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Этап 1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Этап 1.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $- 54$ в степень $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Умножим $2$ на $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.4.2

Умножим $36$ на $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.5

Вычтем $2880$ из $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6

Перепишем $36 x^{2} + 72 x + 36$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.1.2

Вынесем множитель $36$ из $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.1.3

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.1.4

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.1.5

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.4.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.6.2.4

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.7

Перепишем $36 {(x + 1)}^{2}$ в виде ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.1.10

Умножим $6$ на $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Этап 1.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = - \frac{54 + 6 x + 6}{18}$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $54 + 6 x + 6$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $6$ из $54$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 x + 6}{18}$

Этап 1.4.5.2

Вынесем множитель $6$ из $6 x$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6}{18}$

Этап 1.4.5.3

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6 (1)}{18}$

Этап 1.4.5.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (x) + 6 (1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x + 1)}{18}$

Этап 1.4.5.5

Вынесем множитель $6$ из $6 \cdot 9 + 6 (x + 1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{18}$

Этап 1.4.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.6.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 (3)}$

Этап 1.4.5.6.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 \cdot 3}$

Этап 1.4.5.6.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{9 + x + 1}{3}$

Этап 1.4.6

Добавим $9$ и $1$ .

$y = - \frac{x + 10}{3}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $- 54$ в степень $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Умножим $2$ на $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.4.2

Умножим $36$ на $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.5

Вычтем $2880$ из $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6

Перепишем $36 x^{2} + 72 x + 36$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1.1

Вынесем множитель $36$ из $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.1.2

Вынесем множитель $36$ из $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.1.3

Вынесем множитель $36$ из $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.1.4

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.1.5

Вынесем множитель $36$ из $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 1.5.1.6.2.3

Перепишем многочлен.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.6.2.4

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.7

Перепишем $36 {(x + 1)}^{2}$ в виде ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.1.10

Умножим $6$ на $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Этап 1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = - \frac{54 - (6 x + 6)}{18}$

Этап 1.5.5

Сократим общий множитель $54 - (6 x + 6)$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.1

Перепишем $54$ в виде $- 1 (- 54)$ .

$y = - \frac{- 1 \cdot - 54 - (6 x + 6)}{18}$

Этап 1.5.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 54) - (6 x + 6)$ .

$y = - \frac{- 1 (- 54 + 6 x + 6)}{18}$

Этап 1.5.5.3

Вынесем множитель $6$ из $- 1 (- 54 + 6 x + 6)$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{18}$

Этап 1.5.5.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.5.4.1

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 (3)}$

Этап 1.5.5.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 \cdot 3}$

Этап 1.5.5.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{- 1 (- 9 + x + 1)}{3}$

Этап 1.5.6

Добавим $- 9$ и $1$ .

$y = - \frac{- 1 (x - 8)}{3}$

Этап 1.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x - 8}{3}$

Этап 1.5.8

Умножим $- - \frac{x - 8}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = 1 (\frac{x - 8}{3})$

Этап 1.5.8.2

Умножим $\frac{x - 8}{3}$ на $1$ .

$y = \frac{x - 8}{3}$

Этап 1.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Разобьем дробь $\frac{x + 10}{3}$ на две дроби.

$y = - (\frac{x}{3} + \frac{10}{3})$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Этап 5

Разобьем дробь $\frac{x - 8}{3}$ на две дроби.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$y = - (\frac{1}{3} x) - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Этап 8

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Этап 9