Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 p + 12}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 p + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 p$ .

$\frac{3 (p) + 12}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 p + 3 \cdot 4}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 p + 3 \cdot 4$ .

$\frac{3 (p + 4)}{p^{2} - 7 p + 10} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.2

Разложим $p^{2} - 7 p + 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $10$ , а сумма — $- 7$ .

$- 5, - 2$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 p - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 p - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 p$ .

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p) - 4} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 p + 2 \cdot - 2} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 p + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(p - 5) (p - 2), 2 (p - 2), p - 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

НОК $1, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 2.7

Множителем $p - 5$ является само значение $p - 5$ .

$(p - 5) = p - 5$

$(p - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $p - 2$ является само значение $p - 2$ .

$(p - 2) = p - 2$

$(p - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $p - 5, p - 2, p - 2, p - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(p - 5) (p - 2)$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (p - 5) (p - 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$ умножим на $2 (p - 5) (p - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} - \frac{3}{2 (p - 2)} = \frac{1}{p - 2}$ на $2 (p - 5) (p - 2)$ .

$\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2 \frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $2$ и $\frac{3 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)}$ .

$\frac{2 (3 (p + 4))}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $(p - 5) (p - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (p + 4)}{(p - 5) (p - 2)} ((p - 5) (p - 2)) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (p + 4) - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 p + 6 \cdot 4 - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $6$ на $4$ .

$6 p + 24 - \frac{3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.6

Сократим общий множитель $2 (p - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2 (p - 2)}$ в числитель.

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 5) (p - 2)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.6.2

Вынесем множитель $2 (p - 2)$ из $2 (p - 5) (p - 2)$ .

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 2) (p - 5)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$6 p + 24 + \frac{- 3}{2 (p - 2)} (2 (p - 2) (p - 5)) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$6 p + 24 - 3 (p - 5) = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$6 p + 24 - 3 p - 3 \cdot - 5 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $- 3$ на $- 5$ .

$6 p + 24 - 3 p + 15 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $3 p$ из $6 p$ .

$3 p + 24 + 15 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $24$ и $15$ .

$3 p + 39 = \frac{1}{p - 2} (2 (p - 5) (p - 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 p + 39 = 2 \frac{1}{p - 2} ((p - 5) (p - 2))$

Этап 3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{p - 2}$ .

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 5) (p - 2))$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $p - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $p - 2$ из $(p - 5) (p - 2)$ .

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 2) (p - 5))$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$3 p + 39 = \frac{2}{p - 2} ((p - 2) (p - 5))$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$3 p + 39 = 2 (p - 5)$

Этап 3.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 p + 39 = 2 p + 2 \cdot - 5$

Этап 3.3.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$3 p + 39 = 2 p - 10$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $p$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 p$ из обеих частей уравнения.

$3 p + 39 - 2 p = - 10$

Этап 4.1.2

Вычтем $2 p$ из $3 p$ .

$p + 39 = - 10$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $p$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $39$ из обеих частей уравнения.

$p = - 10 - 39$

Этап 4.2.2

Вычтем $39$ из $- 10$ .

$p = - 49$