Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x - 1}{x - 3} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1$

$x = 3$

Этап 5

Объединим решения.

$x = 1, 3$

Этап 6

Найдем область определения $\frac{x - 1}{x - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 1}{x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) - 1}{(0) - 3} < 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $0.\overline{3}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{(2) - 1}{(2) - 3} < 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) - 1}{(6) - 3} < 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $1.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 < x < 3$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(1, 3)$

Этап 11