Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$3 x + 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Этап 2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 5$

Этап 3

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $3 x = - 5$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{3}$

Этап 4

Разложим $x^{2} + 2 x - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 35$ , а сумма — $2$ .

$- 5, 7$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 5, - 7$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - \frac{5}{3}$

$x = 5, - 7$

Этап 10

Объединим решения.

$x = - \frac{5}{3}, 5, - 7$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Разложим $x^{2} + 2 x - 35$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

$- 5, 7$

Этап 11.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Этап 11.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 11.2.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 11.2.3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 11.2.4

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 11.2.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 11.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 5, - 7$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 5$

$x > 5$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 10) + 5}{{(- 10)}^{2} + 2 (- 10) - 35} \geq 0$

Этап 13.1.3

Левая часть $- 0.\overline{5}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (- 4) + 5}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 35} \geq 0$

Этап 13.2.3

Левая часть $0.\overline{259}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $- \frac{5}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $- \frac{5}{3} < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (0) + 5}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 35} \geq 0$

Этап 13.3.3

Левая часть $- 0.\overline{142857}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 (8) + 5}{{(8)}^{2} + 2 (8) - 35} \geq 0$

Этап 13.4.3

Левая часть $0.6\overline{4}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 13.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Истина

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

$x < - 7$ Ложь

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Истина

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Ложь

$x > 5$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 7 < x \leq - \frac{5}{3}$ или $x > 5$

Этап 15

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- 7, - \frac{5}{3}] \cup (5, \infty)$

Этап 16