Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $4 x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4}{4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = 1$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 0 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$e = - 4$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Этап 1.3

Подставим $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ вместо $4 x^{2} + 8 x$ в уравнение $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

Этап 1.4

Перенесем $- 4$ в правую часть уравнения, прибавив $4$ к обеим частям.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

Этап 1.5

Добавим $5$ и $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

Этап 1.6

Разделим каждый член на $9$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 1.7

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(- 1, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Этап 5.3.6

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Этап 5.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $9$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Этап 5.3.8.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{27}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 0 + 3)$

Этап 6.3

Упростим.

$(- 1, 3)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 0 - (3))$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 1, - 3)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 7.3

Упростим.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 7.4

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Этап 7.6

Упростим.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Этап 8.3.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.5

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.6

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Умножим $9$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.8.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.9

Перепишем $\sqrt{\frac{27}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.10.1.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Этап 8.3.1.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Этап 8.3.1.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Этап 8.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 8.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10