Основы мат. анализа Примеры

$\frac{m^{2} + 3 m - 18}{m^{2} + 7 m + 12} - \frac{1}{m + 3} = 1$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $m^{2} + 3 m - 18$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 18$ , а сумма — $3$ .

$- 3, 6$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(m - 3) (m + 6)}{m^{2} + 7 m + 12} - \frac{1}{m + 3} = 1$

Этап 1.2

Разложим $m^{2} + 7 m + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $7$ .

$3, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(m - 3) (m + 6)}{(m + 3) (m + 4)} - \frac{1}{m + 3} = 1$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(m + 3) (m + 4), m + 3, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $m + 3$ является само значение $m + 3$ .

$(m + 3) = m + 3$

$(m + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $m + 4$ является само значение $m + 4$ .

$(m + 4) = m + 4$

$(m + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $m + 3$ является само значение $m + 3$ .

$(m + 3) = m + 3$

$(m + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $m + 3, m + 4, m + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(m + 3) (m + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{(m - 3) (m + 6)}{(m + 3) (m + 4)} - \frac{1}{m + 3} = 1$ умножим на $(m + 3) (m + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{(m - 3) (m + 6)}{(m + 3) (m + 4)} - \frac{1}{m + 3} = 1$ на $(m + 3) (m + 4)$ .

$\frac{(m - 3) (m + 6)}{(m + 3) (m + 4)} ((m + 3) (m + 4)) - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(m + 3) (m + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(m - 3) (m + 6)}{(m + 3) (m + 4)} ((m + 3) (m + 4)) - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(m - 3) (m + 6) - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(m - 3) (m + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m (m + 6) - 3 (m + 6) - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m \cdot m + m \cdot 6 - 3 (m + 6) - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m \cdot m + m \cdot 6 - 3 m - 3 \cdot 6 - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$m^{2} + m \cdot 6 - 3 m - 3 \cdot 6 - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $m$ .

$m^{2} + 6 \cdot m - 3 m - 3 \cdot 6 - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 3$ на $6$ .

$m^{2} + 6 m - 3 m - 18 - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.3.2

Вычтем $3 m$ из $6 m$ .

$m^{2} + 3 m - 18 - \frac{1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $m + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{m + 3}$ в числитель.

$m^{2} + 3 m - 18 + \frac{- 1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$m^{2} + 3 m - 18 + \frac{- 1}{m + 3} ((m + 3) (m + 4)) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$m^{2} + 3 m - 18 - (m + 4) = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$m^{2} + 3 m - 18 - m - 1 \cdot 4 = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $4$ .

$m^{2} + 3 m - 18 - m - 4 = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $m$ из $3 m$ .

$m^{2} + 2 m - 18 - 4 = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 18$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = 1 ((m + 3) (m + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $(m + 3) (m + 4)$ на $1$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = (m + 3) (m + 4)$

Этап 3.3.2

Развернем $(m + 3) (m + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$m^{2} + 2 m - 22 = m (m + 4) + 3 (m + 4)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$m^{2} + 2 m - 22 = m \cdot m + m \cdot 4 + 3 (m + 4)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$m^{2} + 2 m - 22 = m \cdot m + m \cdot 4 + 3 m + 3 \cdot 4$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = m^{2} + m \cdot 4 + 3 m + 3 \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $m$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = m^{2} + 4 \cdot m + 3 m + 3 \cdot 4$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = m^{2} + 4 m + 3 m + 12$

Этап 3.3.3.2

Добавим $4 m$ и $3 m$ .

$m^{2} + 2 m - 22 = m^{2} + 7 m + 12$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $m^{2}$ из обеих частей уравнения.

$m^{2} + 2 m - 22 - m^{2} = 7 m + 12$

Этап 4.1.2

Вычтем $7 m$ из обеих частей уравнения.

$m^{2} + 2 m - 22 - m^{2} - 7 m = 12$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $m^{2} + 2 m - 22 - m^{2} - 7 m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $m^{2}$ из $m^{2}$ .

$2 m - 22 + 0 - 7 m = 12$

Этап 4.1.3.2

Добавим $2 m - 22$ и $0$ .

$2 m - 22 - 7 m = 12$

Этап 4.1.4

Вычтем $7 m$ из $2 m$ .

$- 5 m - 22 = 12$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $m$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $22$ к обеим частям уравнения.

$- 5 m = 12 + 22$

Этап 4.2.2

Добавим $12$ и $22$ .

$- 5 m = 34$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 5 m = 34$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 5 m = 34$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 m}{- 5} = \frac{34}{- 5}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 m}{- 5} = \frac{34}{- 5}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $m$ на $1$ .

$m = \frac{34}{- 5}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$m = - \frac{34}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$m = - \frac{34}{5}$

Десятичная форма:

$m = - 6.8$

Форма смешанных чисел:

$m = - 6 \frac{4}{5}$