Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + 6 x + 3 y - 12 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 x + 3 y - 12 = - x^{2}$

Этап 1.1.1.2

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$3 y - 12 = - x^{2} - 6 x$

Этап 1.1.1.3

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$3 y = - x^{2} - 6 x + 12$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ на $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $- 6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (1)} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 1} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + \frac{12}{3}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $12$ на $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - 2$

$c = 4$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 1 \cdot 3$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = 4 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{3})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 4 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$e = 4 - \frac{4}{\frac{- 4}{3}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e = 4 - \frac{4}{- \frac{4}{3}}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 4 - (4 (- \frac{3}{4}))$

Этап 1.2.4.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{4}$ в числитель.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Этап 1.2.4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Этап 1.2.4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$e = 4 - - 3$

Этап 1.2.4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$e = 4 + 3$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $4$ и $3$ .

$e = 7$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 7$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = 7$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 3, 7)$

Этап 4