Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{2}{x^{2} - 2 x - 3}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{2}{x^{2} - 2 x - 3}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 1, 3}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup (0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - \frac{1}{2}, y > 0}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty), {x | x \neq - 1, 3}$

Диапазон: $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{1}{2}, y > 0}$

Этап 6