Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 11 x - 34}{{(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Этап 1.3

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$

Этап 1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен ${(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(- 11 x - 34) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 11 x - 34) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 1.6.2

Разделим $- 11 x - 34$ на $1$ .

$- 11 x - 34 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$- 11 x - 34 = \frac{A {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.1.2

Разделим $(A) (x^{2} + 3)$ на $1$ .

$- 11 x - 34 = (A) (x^{2} + 3) + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.3

Перенесем $3$ влево от $A$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.4

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $(B) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{x - 2} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.2.1

Умножим на $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{(x - 2) (B (x - 2) (x^{2} + 3))}{(x - 2) \cdot 1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + \frac{B (x - 2) (x^{2} + 3)}{1} + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.4.2.4

Разделим $B (x - 2) (x^{2} + 3)$ на $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x - 2) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + (B x + B \cdot - 2) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.6

Перенесем $- 2$ влево от $B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + (B x - 2 \cdot B) (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.7

Развернем $(B x - 2 B) (x^{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x (x^{2} + 3) - 2 B (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 3 - 2 B (x^{2} + 3) + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + B x \cdot 3 - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8.2

Перенесем $3$ влево от $B x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 \cdot (B x) - 2 B x^{2} - 2 B \cdot 3 + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.8.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.9

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.9.1

Сократим общий множитель.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + \frac{(C x + D) {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3}$

Этап 1.7.9.2

Разделим $(C x + D) {(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) {(x - 2)}^{2}$

Этап 1.7.10

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) ((x - 2) (x - 2))$

Этап 1.7.11

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Этап 1.7.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Этап 1.7.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.12.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7.12.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Этап 1.7.12.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Этап 1.7.12.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + (C x + D) (x^{2} - 4 x + 4)$

Этап 1.7.13

Развернем $(C x + D) (x^{2} - 4 x + 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x \cdot x^{2} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C (x^{2} x) + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C (x^{2} x) + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{2 + 1} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} + C x (- 4 x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x \cdot x + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.14.3.1

Перенесем $x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C (x \cdot x) + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + C x \cdot 4 + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.4

Перенесем $4$ влево от $C x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 \cdot (C x) + D x^{2} + D (- 4 x) + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + D \cdot 4$

Этап 1.7.14.6

Перенесем $4$ влево от $D$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 B x - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

Этап 1.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перенесем $B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 B x^{2} - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

Этап 1.8.2

Перенесем $B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B - 6 B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 4 D$

Этап 1.8.3

Перенесем $- 6 B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + 3 A + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x - 6 B + 4 D$

Этап 1.8.4

Перенесем $3 A$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + 4 C x + D x^{2} - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 1.8.5

Перенесем $4 C x$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + 3 x B - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + D x^{2} + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 1.8.6

Перенесем $3 x B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} - 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 1.8.7

Перенесем $- 2 x^{2} B$ .

$- 11 x - 34 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} B - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 1.8.8

Перенесем $A x^{2}$ .

$- 11 x - 34 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} - 2 x^{2} B - 4 C x^{2} + D x^{2} + 3 x B + 4 C x - 4 D x + 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = B + C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $0 = B + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $B + C = 0$ .

$B + C = 0$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.1.2

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$B = - C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$B = - C$

$0 = A - 2 B - 4 C + D$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $- C$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = A - 2 B - 4 C + D$ на $- C$ .

$0 = A - 2 (- C) - 4 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $A - 2 (- C) - 4 C + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$0 = A + 2 C - 4 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.2.1.2

Вычтем $4 C$ из $2 C$ .

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $B$ в $- 11 = 3 B + 4 C - 4 D$ на $- C$ .

$- 11 = 3 (- C) + 4 C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Упростим $3 (- C) + 4 C - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 11 = - 3 C + 4 C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.4.1.2

Добавим $- 3 C$ и $4 C$ .

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$

Этап 3.2.5

Заменим все вхождения $B$ в $- 34 = 3 A - 6 B + 4 D$ на $- C$ .

$- 34 = 3 A - 6 (- C) + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.2.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$- 11 = C - 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.3

Решим относительно $C$ в $- 11 = C - 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C - 4 D = - 11$ .

$C - 4 D = - 11$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.3.2

Добавим $4 D$ к обеим частям уравнения.

$C = - 11 + 4 D$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$C = - 11 + 4 D$

$- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4

Заменим все вхождения $C$ на $- 11 + 4 D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим все вхождения $C$ в $- 34 = 3 A + 6 C + 4 D$ на $- 11 + 4 D$ .

$- 34 = 3 A + 6 (- 11 + 4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $3 A + 6 (- 11 + 4 D) + 4 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 34 = 3 A + 6 \cdot - 11 + 6 (4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.1.2

Умножим $6$ на $- 11$ .

$- 34 = 3 A - 66 + 6 (4 D) + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.1.3

Умножим $4$ на $6$ .

$- 34 = 3 A - 66 + 24 D + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 24 D + 4 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4.2.1.2

Добавим $24 D$ и $4 D$ .

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$0 = A - 2 C + D$

$B = - C$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $C$ в $0 = A - 2 C + D$ на $- 11 + 4 D$ .

$0 = A - 2 (- 11 + 4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

Этап 3.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим $A - 2 (- 11 + 4 D) + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = A - 2 \cdot - 11 - 2 (4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

Этап 3.4.4.1.1.2

Умножим $- 2$ на $- 11$ .

$0 = A + 22 - 2 (4 D) + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

Этап 3.4.4.1.1.3

Умножим $4$ на $- 2$ .

$0 = A + 22 - 8 D + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 8 D + D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

Этап 3.4.4.1.2

Добавим $- 8 D$ и $D$ .

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = - C$

Этап 3.4.5

Заменим все вхождения $C$ в $B = - C$ на $- 11 + 4 D$ .

$B = - (- 11 + 4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

Этап 3.4.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Упростим $- (- 11 + 4 D)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$B = 11 - (4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

Этап 3.4.6.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 11$ .

$B = 11 - (4 D)$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

Этап 3.4.6.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

$B = 11 - 4 D$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

Этап 3.5

Изменим порядок $11$ и $- 4 D$ .

$B = - 4 D + 11$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$C = - 11 + 4 D$

Этап 3.6

Изменим порядок $- 11$ и $4 D$ .

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$0 = A + 22 - 7 D$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

Этап 3.7

Решим относительно $A$ в $0 = A + 22 - 7 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перепишем уравнение в виде $A + 22 - 7 D = 0$ .

$A + 22 - 7 D = 0$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

Этап 3.7.2

Перенесем все члены без $A$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вычтем $22$ из обеих частей уравнения.

$A - 7 D = - 22$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

Этап 3.7.2.2

Добавим $7 D$ к обеим частям уравнения.

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 3 A - 66 + 28 D$

Этап 3.8

Заменим все вхождения $A$ на $- 22 + 7 D$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 34 = 3 A - 66 + 28 D$ на $- 22 + 7 D$ .

$- 34 = 3 (- 22 + 7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Упростим $3 (- 22 + 7 D) - 66 + 28 D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 34 = 3 \cdot - 22 + 3 (7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.8.2.1.1.2

Умножим $3$ на $- 22$ .

$- 34 = - 66 + 3 (7 D) - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.8.2.1.1.3

Умножим $7$ на $3$ .

$- 34 = - 66 + 21 D - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = - 66 + 21 D - 66 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.8.2.1.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1.2.1

Вычтем $66$ из $- 66$ .

$- 34 = 21 D - 132 + 28 D$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.8.2.1.2.2

Добавим $21 D$ и $28 D$ .

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$- 34 = 49 D - 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9

Решим относительно $D$ в $- 34 = 49 D - 132$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $49 D - 132 = - 34$ .

$49 D - 132 = - 34$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.2

Перенесем все члены без $D$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Добавим $132$ к обеим частям уравнения.

$49 D = - 34 + 132$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.2.2

Добавим $- 34$ и $132$ .

$49 D = 98$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$49 D = 98$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.3

Разделим каждый член $49 D = 98$ на $49$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Разделим каждый член $49 D = 98$ на $49$ .

$\frac{49 D}{49} = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{49 D}{49} = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.3.2.1.2

Разделим $D$ на $1$ .

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = \frac{98}{49}$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.9.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.3.1

Разделим $98$ на $49$ .

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$D = 2$

$A = - 22 + 7 D$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10

Заменим все вхождения $D$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Заменим все вхождения $D$ в $A = - 22 + 7 D$ на $2$ .

$A = - 22 + 7 (2)$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Упростим $- 22 + 7 (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$A = - 22 + 14$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.2.1.2

Добавим $- 22$ и $14$ .

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$C = 4 D - 11$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.3

Заменим все вхождения $D$ в $C = 4 D - 11$ на $2$ .

$C = 4 (2) - 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Упростим $4 (2) - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$C = 8 - 11$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.4.1.2

Вычтем $11$ из $8$ .

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = - 4 D + 11$

Этап 3.10.5

Заменим все вхождения $D$ в $B = - 4 D + 11$ на $2$ .

$B = - 4 \cdot 2 + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

Этап 3.10.6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

Упростим $- 4 \cdot 2 + 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$B = - 8 + 11$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

Этап 3.10.6.1.2

Добавим $- 8$ и $11$ .

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

$B = 3$

$C = - 3$

$A = - 8$

$D = 2$

Этап 3.11

Перечислим все решения.

$B = 3, C = - 3, A = - 8, D = 2$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 3}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{- 3 x + 2}{x^{2} + 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{(- 3) \cdot x + 2}{x^{2} + 3}$

Этап 5.2

Умножим $- 3$ на $x$ .

$\frac{- 8}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{3}{x - 2} + \frac{- 3 x + 2}{x^{2} + 3}$