Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Этап 1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Этап 2

Составим полный квадрат для $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Этап 2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Этап 2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.4.2.3

Умножим $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Этап 2.4.2.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Этап 2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.1.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Этап 2.5.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.4.1

Умножим $\frac{9}{16}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.1.4.2

Умножим $16$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $\frac{9}{64}$ из $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Этап 2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Этап 3

Подставим ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ вместо $x^{2} + \frac{3}{4} x$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Этап 4

Перенесем $- \frac{9}{64}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{9}{64}$ к обеим частям.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Этап 5

Составим полный квадрат для $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Этап 5.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Этап 5.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 5.4.2.3

Умножим $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Умножим $\frac{5}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Этап 5.4.2.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Этап 5.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Этап 5.5.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Этап 5.5.2.1.4

Умножим $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.4.1

Умножим $\frac{25}{9}$ на $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Этап 5.5.2.1.4.2

Умножим $9$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Этап 5.5.2.2

Вычтем $\frac{25}{36}$ из $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Этап 5.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Этап 6

Подставим ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ вместо $y^{2} + \frac{5}{3} y$ в уравнение $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Этап 7

Перенесем $- \frac{25}{36}$ в правую часть уравнения, прибавив $\frac{25}{36}$ к обеим частям.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Этап 8

Упростим $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Этап 8.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Этап 8.1.3

Умножим $\frac{9}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Этап 8.1.4

Умножим $\frac{9}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Этап 8.1.5

Умножим $\frac{25}{36}$ на $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Этап 8.1.6

Умножим $\frac{25}{36}$ на $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Этап 8.1.7

Умножим $2$ на $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Этап 8.1.8

Изменим порядок множителей в $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Этап 8.1.9

Умножим $9$ на $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Этап 8.1.10

Изменим порядок множителей в $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Этап 8.1.11

Умножим $16$ на $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Этап 8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $9$ на $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Этап 8.3.2

Умножим $25$ на $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Этап 8.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $288$ и $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Этап 8.4.2

Добавим $369$ и $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Этап 9

Это формула окружности. Используем эту формулу для определения центра и радиуса окружности.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Этап 10

Сопоставим параметры окружности со значениями в стандартной форме. Переменная $r$ представляет радиус окружности, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Этап 11

Центр окружности находится в точке $(h, k)$ .

Центр: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Этап 12

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа окружности.

Центр: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Радиус: $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Этап 13