Основы мат. анализа Примеры

$\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{25} = 1$

Этап 1

Добавим $\frac{x^{2}}{25}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 + \frac{x^{2}}{25}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $9 (1 + \frac{x^{2}}{25})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 \frac{x^{2}}{25}$

Этап 3.2.1.3

Объединим $9$ и $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{9 x^{2}}{25}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{9 + \frac{9 x^{2}}{25}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \cdot \frac{25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Этап 5.2

Объединим $9$ и $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25}{25} + \frac{9 x^{2}}{25}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{9 \cdot 25 + 9 x^{2}}{25}}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \cdot 25 + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9 \cdot 25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 x^{2}}{25}}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25) + 9 (x^{2})}{25}}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (25) + 9 (x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (25 + x^{2})}{25}}$

Этап 5.5

Перепишем $\frac{9 (25 + x^{2})}{25}$ в виде ${(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9 (25 + x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{25}}$

Этап 5.5.2

Вынесем полную степень $5^{2}$ из $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{3^{2} (5^{2} + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{5})}^{2} (5^{2} + x^{2})}$

Этап 5.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{5^{2} + x^{2}}$

Этап 5.7

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \pm \frac{3}{5} \sqrt{25 + x^{2}}$

Этап 5.8

Объединим $\frac{3}{5}$ и $\sqrt{25 + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{3 \sqrt{25 + x^{2}}}{5}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{25 + x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$25 + x^{2} \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вычтем $25$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \geq - 25$

Этап 8.2

Поскольку левая часть имеет четную степень, она всегда положительна для всех вещественных чисел.

Все вещественные числа

Этап 9

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, - 3] \cup [3, \infty), {y | y \leq - 3, y \geq 3}$

Этап 12