Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{225}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $- 64$ .

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{2}}{64}$ в числитель.

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.1.2

Вынесем множитель $64$ из $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.1.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 64$ на $1$ .

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 64$ .

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

Этап 3.2.1.3.2

Объединим $64$ и $\frac{x^{2}}{225}$ .

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $64 x^{2}$ в виде ${(8 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

Этап 5.2

Перепишем $225$ в виде $15^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ в виде ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Изменим порядок $- 8^{2}$ и ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{8 x}{15}$ и $b = 8$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $8$ из $\frac{8 x}{15} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $8$ из $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $8$ из $8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $8$ из $\frac{8 x}{15} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $8$ из $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

Этап 5.6.2.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

Этап 5.6.2.3

Вынесем множитель $8$ из $8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

Этап 5.6.3

Умножим $8$ на $8$ .

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

Этап 5.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

Этап 5.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

Этап 5.10

Объединим $- 1$ и $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

Этап 5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

Этап 5.12

Умножим $- 1$ на $15$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

Этап 5.13

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Объединим $64$ и $\frac{x + 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

Этап 5.13.2

Умножим $\frac{64 (x + 15)}{15}$ на $\frac{x - 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

Этап 5.13.3

Умножим $15$ на $15$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

Этап 5.14

Перепишем $\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ в виде ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Вынесем полную степень $8^{2}$ из $64 (x + 15) (x - 15)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

Этап 5.14.2

Вынесем полную степень $15^{2}$ из $225$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.14.3

Перегруппируем дробь $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

Этап 5.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

Этап 5.16

Объединим $\frac{8}{15}$ и $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ .

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x + 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x + 15$ к $0$ .

$x + 15 = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $15$ из обеих частей уравнения.

$x = - 15$

Этап 8.3

Приравняем $x - 15$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x - 15$ к $0$ .

$x - 15 = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$x = 15$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 15) (x - 15) \geq 0$ верно.

$x = - 15, 15$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 18$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 18$ в исходном неравенстве.

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $99$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 15 < x < 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 15 < x < 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $- 225$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 15$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 18$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $18$ в исходном неравенстве.

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $99$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 15$ Истина

$- 15 < x < 15$ Ложь

$x > 15$ Истина

$x < - 15$ Истина

$- 15 < x < 15$ Ложь

$x > 15$ Истина

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 15$ или $x \geq 15$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 12