Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 2 x - 3 \geq 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(- 4)}^{2} - 2 \cdot - 4 - 3 \geq 0$

Этап 8.1.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 3 \geq 0$

Этап 8.2.3

Левая часть $- 3$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - 2 \cdot 6 - 3 \geq 0$

Этап 8.3.3

Левая часть $21$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 3$ Ложь

$x > 3$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 3$

Этап 10

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

Этап 11