Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ в виде ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Упростим.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.3.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.3.4

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 3$

$x = 2$

Этап 2.3.5

Объединим решения.

$x = - 3, 2$

Этап 2.4

Найдем область определения $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Этап 2.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.4.2.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.2.4

$x = - 3$

$x = 2$

Этап 2.4.2.5

Объединим решения.

$x = - 3, 2$

Этап 2.4.2.6

Найдем область определения $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.2.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 2.4.2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.4.2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.4.2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Этап 2.4.2.8.1.3

Левая часть $0.375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.4.2.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.4.2.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Этап 2.4.2.8.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 2.4.2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.4.2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Этап 2.4.2.8.3.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.4.2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 2.4.2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x > 2$

Этап 2.4.3

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Этап 2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Этап 2.6.1.3

Левая часть $0.61237243$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Этап 2.6.2.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Этап 2.6.3.3

Левая часть $1.87082869$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 3$ или $x > 2$

Этап 3

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4

$x = - 3$

$x = 2$

Этап 4.5

Объединим решения.

$x = - 3, 2$

Этап 4.6

Найдем область определения $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.6.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 4.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 4.8.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Этап 4.8.1.3

Левая часть $0.375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.8.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Этап 4.8.2.3

Левая часть $- 1.5$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Этап 4.8.3.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 3$ Истина

$- 3 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 4.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 3$ или $x > 2$

Этап 5

Зададим знаменатель в $\frac{x + 3}{x - 2}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 2 = 0$

Этап 6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x < - 3, x > 2}$

Этап 8