Основы мат. анализа Примеры

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y + 8 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $8 x^{2} - 32 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 8$

$b = - 32$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 32$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (8)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 8}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 16}{8}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 16$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{8 \cdot - 2}{8 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 32$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 8}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$e = 0 - \frac{1024}{32}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $1024$ на $32$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $32$ .

$e = 0 - 32$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $32$ из $0$ .

$e = - 32$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32$

Этап 1.3

Подставим $8 {(x - 2)}^{2} - 32$ вместо $8 x^{2} - 32 x$ в уравнение $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} - 32 + 6 y^{2} + 24 y = - 8$

Этап 1.4

Перенесем $- 32$ в правую часть уравнения, прибавив $32$ к обеим частям.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 y^{2} + 24 y = - 8 + 32$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $6 y^{2} + 24 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 6$

$b = 24$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{24}{2 \cdot 6}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 6$ .

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 (6)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{12}{6}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $12$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{6 \cdot 2}{6 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{24^{2}}{4 \cdot 6}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $24$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 6}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $6$ .

$e = 0 - \frac{576}{24}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $576$ на $24$ .

$e = 0 - 1 \cdot 24$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $24$ .

$e = 0 - 24$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $24$ из $0$ .

$e = - 24$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ .

$6 {(y + 2)}^{2} - 24$

Этап 1.6

Подставим $6 {(y + 2)}^{2} - 24$ вместо $6 y^{2} + 24 y$ в уравнение $8 x^{2} + 6 y^{2} - 32 x + 24 y = - 8$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} - 24 = - 8 + 32$

Этап 1.7

Перенесем $- 24$ в правую часть уравнения, прибавив $24$ к обеим частям.

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = - 8 + 32 + 24$

Этап 1.8

Упростим $- 8 + 32 + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 8$ и $32$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 24 + 24$

Этап 1.8.2

Добавим $24$ и $24$ .

$8 {(x - 2)}^{2} + 6 {(y + 2)}^{2} = 48$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $48$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{8 {(x - 2)}^{2}}{48} + \frac{6 {(y + 2)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{6} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{6}$

$k = - 2$

$h = 2$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(2, - 2)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.3

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{6})}^{2}}$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{8 - 6^{1}}$

Этап 5.3.4.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 6}$

Этап 5.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\sqrt{8 - 6}$

Этап 5.3.5.2

Вычтем $6$ из $8$ .

$\sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $k$ .

$(h, k + a)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Этап 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(2, - 2 - (2 \sqrt{2}))$

Этап 6.5

Упростим.

$(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Этап 6.6

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $k$ .

$(h, k + c)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(2, - 2 + \sqrt{2})$

Этап 7.3

Первый фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $k$ .

$(h, k - c)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(2, - 2 - (\sqrt{2}))$

Этап 7.5

Упростим.

$(2, - 2 - \sqrt{2})$

Этап 7.6

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{8 - 6^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 6}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{8 - 6}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.1.7

Вычтем $6$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Этап 8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(2, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, - 2 + 2 \sqrt{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 2 - 2 \sqrt{2})$

${Focus}_{1}$ : $(2, - 2 + \sqrt{2})$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 2 - \sqrt{2})$

Эксцентриситет: $\frac{1}{2}$

Этап 10