Основы мат. анализа Примеры

$5 = 7 \cos (\frac{π}{3} t)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $7 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$ .

$7 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$

Этап 2

Разделим каждый член $7 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $7 \cos (\frac{π}{3} t) = 5$ на $7$ .

$\frac{7 \cos (\frac{π}{3} t)}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cos (\frac{π}{3} t)}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{π}{3} t)$ на $1$ .

$\cos (\frac{π}{3} t) = \frac{5}{7}$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$\frac{π}{3} t = \arccos (\frac{5}{7})$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{π}{3}$ и $t$ .

$\frac{π t}{3} = \arccos (\frac{5}{7})$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\arccos (\frac{5}{7})$ .

$\frac{π t}{3} = 0.77519337$

Этап 6

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{3}{π} \cdot 0.77519337$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot 0.77519337$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $\frac{3}{π} \cdot 0.77519337$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{π}$ и $0.77519337$ .

$t = \frac{3 \cdot 0.77519337}{π}$

Этап 7.2.1.1.2

Умножим $3$ на $0.77519337$ .

$t = \frac{2.32558011}{π}$

Этап 7.2.1.2

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{2.32558011}{3.14159265}$

Этап 7.2.1.3

Разделим $2.32558011$ на $3.14159265$ .

$t = 0.74025514$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π t}{3} = 2 (3.14159265) - 0.77519337$

Этап 9

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Упростим $\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π t}{3} = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$

Этап 9.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим $\frac{3}{π} (2 (3.14159265) - 0.77519337)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$t = \frac{3}{π} (6.2831853 - 0.77519337)$

Этап 9.2.2.1.2

Вычтем $0.77519337$ из $6.2831853$ .

$t = \frac{3}{π} \cdot 5.50799193$

Этап 9.2.2.1.3

Умножим $\frac{3}{π} \cdot 5.50799193$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.3.1

Объединим $\frac{3}{π}$ и $5.50799193$ .

$t = \frac{3 \cdot 5.50799193}{π}$

Этап 9.2.2.1.3.2

Умножим $3$ на $5.50799193$ .

$t = \frac{16.5239758}{π}$

Этап 9.2.2.1.4

Заменим $π$ приближением.

$t = \frac{16.5239758}{3.14159265}$

Этап 9.2.2.1.5

Разделим $16.5239758$ на $3.14159265$ .

$t = 5.25974485$

Этап 10

Найдем период $\cos (\frac{π}{3} t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 10.2

Заменим $b$ на $\frac{π}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Этап 10.3

$\frac{π}{3}$ приблизительно равно $1.04719755$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Этап 10.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{π}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Этап 10.5.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 3$

Этап 10.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 11

Период функции $\cos (\frac{π}{3} t)$ равен $6$ . Поэтому значения повторяются через каждые $6$ рад. в обоих направлениях.

$t = 0.74025514 + 6 n, 5.25974485 + 6 n$ , для любого целого $n$