Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 16 x + 2 y + 68 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 16 x + 2 y + 68 = - x^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$2 y + 68 = - x^{2} + 16 x$

Этап 1.1.1.3

Вычтем $68$ из обеих частей уравнения.

$2 y = - x^{2} + 16 x - 68$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 y = - x^{2} + 16 x - 68$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 y = - x^{2} + 16 x - 68$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{16 x}{2} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{16 x}{2} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{2} + \frac{16 x}{2} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{16 x}{2} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (8 x)}{2} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (8 x)}{2 (1)} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (8 x)}{2 \cdot 1} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{8 x}{1} + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2.4

Разделим $8 x$ на $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 8 x + \frac{- 68}{2}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Разделим $- 68$ на $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 8 x - 34$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- \frac{x^{2}}{2} + 8 x - 34$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 8$

$c = - 34$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 4 (- 1 \cdot 2)$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $4 (- 1 \cdot 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$d = 4 \cdot - 2$

Этап 1.2.3.2.3.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$d = - 8$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 34 - \frac{8^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = - 34 - \frac{64}{4 (- \frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 34 - \frac{64}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Этап 1.2.4.2.1.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$e = - 34 - \frac{64}{\frac{- 4}{2}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $- 4$ на $2$ .

$e = - 34 - \frac{64}{- 2}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $64$ на $- 2$ .

$e = - 34 - - 32$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 32$ .

$e = - 34 + 32$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 34$ и $32$ .

$e = - 2$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- \frac{1}{2} {(x - 8)}^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 8)}^{2} - 2$

Этап 1.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 8)}^{2} - 2$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 8$

$k = - 2$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(8, - 2)$

Этап 4