Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

Этап 1

Вычтем $\frac{4}{x + 1}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{3}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{4}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{3}{x - 1}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{4}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.5

Вычтем $4 x$ из $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.5.6

Добавим $3$ и $4$ .

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.7

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x - 7)$ в виде $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 7, - 1, 1$

Этап 9

Найдем область определения $- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Зададим знаменатель в $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 9.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 9.2.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.2.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 9.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 1, 1$

Этап 9.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Этап 11.1.3

Левая часть $- 0.6$ больше правой части $- 1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

Этап 11.2.3

Левая часть $- 3$ не больше правой части $4$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

Этап 11.3.3

Левая часть $1$ больше правой части $0.8$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 11.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

Этап 11.4.3

Левая часть $0.\overline{3}$ не больше правой части $0.\overline{36}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 1$ Ложь

$1 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $1 < x < 7$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

Этап 14