Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Этап 2

Разделим ${(y - 3)}^{2}$ на $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Этап 3

Упростим $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Этап 3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $2$ из $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Этап 3.2.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Этап 3.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Этап 3.2.3.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Этап 3.2.3.5

Добавим $2$ и $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Этап 3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Этап 3.3.2

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Этап 3.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Этап 3.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $- \frac{x (x - 4)}{4}$ в виде ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Этап 5.1.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Этап 5.1.4

Изменим порядок $- 1$ и ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Этап 5.1.5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Этап 5.1.6

Добавим круглые скобки.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Этап 5.1.7

Добавим круглые скобки.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Этап 5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Этап 5.3

Единица в любой степени равна единице.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Этап 5.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Этап 6.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Этап 6.4

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Этап 6.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- x (x - 4)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- x (x - 4) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 4) \geq 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $4$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 4$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, 4]$

Обозначение построения множества:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[2, 4]$

Обозначение построения множества:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Диапазон: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Этап 12