Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 4 y = 4 x + 16$

Этап 1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - 4 x = 16$

Этап 1.1.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y - 4 x - 16 = 0$

Этап 1.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 1.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = - 4 x - 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 4 x - 16$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.3

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6

Перепишем $- 16 (- x - 5)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.6.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Этап 1.4.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 1.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4 x - 16$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.3

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6

Перепишем $- 16 (- x - 5)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.6.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Этап 1.5.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 1.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 1.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.1.2

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 16)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.1.3

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 4 x - 16))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 4 x - 16))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.2

Умножим $- 4 x - 16$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 4 x - 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.3

Вычтем $16$ из $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) - 20)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x) + 4 (- 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (- 5)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (4 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.5

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 16 (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6

Перепишем $- 16 (- x - 5)$ в виде ${(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.6.1

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{16 (- 1) (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- 1 (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.6.4

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \cdot (- (- x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{4 \pm 2^{2} \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 1.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$

Этап 1.6.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 \sqrt{- (- x - 5)}}{2}$ .

$y = 2 \pm 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 1.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 1.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 3

Стандартная форма: $2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}, 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

$y = 2 - 2 \sqrt{- (- x - 5)}$

Этап 4