Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x^{2} + 7 x}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x \cdot x + 7 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x \cdot x + x \cdot 7}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 7$ .

$\frac{- 5 x^{2} - 30 x - 21}{x (x + 7)}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 7}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x (x + 7)$ .

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x (x + 7))}{x (x + 7)} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x (x + 7))}{x (x + 7)} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x + 7)}{x + 7} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 5 x^{2} - 30 x - 21) (x + 7)}{x + 7} = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.5.2

Разделим $- 5 x^{2} - 30 x - 21$ на $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = \frac{A (x (x + 7))}{x} + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (x + 7)$ на $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A (x + 7) + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6.3

Перенесем $7$ влево от $A$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + \frac{B (x (x + 7))}{x + 7}$

Этап 1.6.4.2

Разделим $(B) (x)$ на $1$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + (B) (x)$

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + 7 A + B x$

Этап 1.7

Перенесем $7 A$ .

$- 5 x^{2} - 30 x - 21 = A x + B x + 7 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 30 = A + B$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 21 = 7 A$

Этап 2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 30 = A + B$

$- 21 = 7 A$

$- 30 = A + B$

$- 21 = 7 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $A$ в $- 21 = 7 A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $7 A = - 21$ .

$7 A = - 21$

$- 30 = A + B$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $7 A = - 21$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $7 A = - 21$ на $7$ .

$\frac{7 A}{7} = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 A}{7} = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

$A = \frac{- 21}{7}$

$- 30 = A + B$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $- 21$ на $7$ .

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

$A = - 3$

$- 30 = A + B$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- 3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $- 30 = A + B$ на $- 3$ .

$- 30 = (- 3) + B$

$A = - 3$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

$- 30 = - 3 + B$

$A = - 3$

Этап 3.3

Решим относительно $B$ в $- 30 = - 3 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 3 + B = - 30$ .

$- 3 + B = - 30$

$A = - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$B = - 30 + 3$

$A = - 3$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 30$ и $3$ .

$B = - 27$

$A = - 3$

$B = - 27$

$A = - 3$

$B = - 27$

$A = - 3$

Этап 3.4

Решим систему уравнений.

$B = - 27 A = - 3$

Этап 3.5

Перечислим все решения.

$B = - 27, A = - 3$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 7}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$- \frac{3}{x} + \frac{- 27}{x + 7}$